预付年金终值、现值计算公式的推导新方法

阿豆学长长ov

摘要：预付年金终值或现值计算公式推导时，可以先把预付年金调整为普通年金，计算出该普通年金的终值或现值，然后分析该普通年金终值或现值与预付年金终值或现值的区别，再将该普通年金的终值或现值调整为预付年金的终值或现值。

关键词：预付年金  普通年金 终值  现值  调整

年金是指等额、定期的系列收支。按照收付时点的不同，可以把年金分为后付年金（也称为普通年金）、预付年金、递延年金和永续年金。年金终值、现值计算的基本原理是：年金的终值就是构成年金的每一个收付款项的终值的和，年金的现值就是构成年金的每一个收付款项的现值的和。

一、教材中预付年金终值与现值公式的推导方法

2016年3月出版的2016年度注册会计师全国统一考试辅导教材《财务成本管理》第四章第一节在计算预付年金的终值时，首先利用年金终值计算的基本原理计算出预付年金的终值，即

F=A(1+i)+A(1+i)2+ … A(1+i)n

因为该式右边各项为等比数列，所以根据等比数列求和公式可以将预付年金终值计算公式逐步演变为

F

在该教材中，预付年金现值计算公式的推导方法和预付年金终值推到方法相同，也是利用了等比数列求和公式。

二、预付年金终值与现值公式的推导新方法

后付年金之所以也称为普通年金，并不是因为后付年金在经济生活中经常碰到，而是可以以后付年金为基础计算与预付年金、递延年金和永续年金有关的终值、现值问题。

由于在学习预付年金终值和现值计算公式之前，该教材已经推导出普通年金终值和现值的计算公式，在计算预付年金的终值和现值时，可以以普通年金终值和现值计算公式为基础推导出预付年金终值和现值的计算公式。

（一）预付年金终值与现值公式推导新方法的步骤

利用普通年金终值与现值计算公式推导预付年金终值与现值计算公式可以分为三个步骤。

第一步，将预付年金调整为普通年金。

第二步，计算该普通年金的终值或现值。

第三步，将该普通年金的终值或现值调整为预付年金的终值或现值。

在这三个步骤中，第一步和第三步是重点。

将预付年金调整为普通年金时，调整的方法很多，但最便捷的是以下两种调整方法。第一种调整方法是确保收支等额款项的个数保持不变。比如，如果预付年金中收支的等额款项是3期，那么调整之后的普通年金收支的等额款项也是3期。第二种调整方法是确保要计算的预付年金终值或现值的时点与调整之后的普通年金终值或现值的时点保持不变。

将普通年金的终值或现值调整为预付年金的终值或现值时，要正确分析第二步计算出的普通年金终值或现值与要求的预付年金终值或现值的区别与联系。

（二）预付年金终值计算公式的推导

图1是一个期数为n期，每期期初收款金额为A的预付年金，假设利率为i。

     A        A         A                           A



图1  预付年金

1、第一种推导方法

第一步，将预付年金调整为普通年金。

求图1中预付年金的终值，首先把预付年金调整为普通年金。采用第一种调整方法，即确保调整之后的普通年金中等额款项的个数也是n。假设在第一期前还有一期，如图2所示。图2中大括号所包含的就是n期的普通年金。

         A        A         A                            A        ?



-1       0         1          2                           n-1       n

图2  预付年金终值计算公式的第一种推导方法

第二步，计算该普通年金的终值。

图2中n期普通年金的终值计算公式为：

第三步，将该普通年金的终值调整为预付年金的终值。

图2中普通年金的终值是n个A在n-1这个时点的终值的和，要求的预付年金的终值是n个A在n这个时点的终值的和。也就是说，在从n-1到n这一期中，我们知道n个A在n-1这一时点的价值，要求n个A在n这一时点的价值。因此，要利用复利终值计算公式，根据期初的价值求出一期之后的期末的价值。即：

F

该公式即为图1中预付年金终值的计算公式。

2、第二种推导方法

第一步，将预付年金调整为普通年金。

求图1中预付年金的终值，首先把预付年金调整为普通年金。采用第二种调整方法，即确保调整之后的普通年金计算终值的时点与预付年金计算终值的时点相同。假设在第一期前还有一期，并且假设第n期期末也存在一个A，如图3所示。图3中大括号所包含的就是n+1期的普通年金。                                                               

    A        A         A                           A        A?

图3  预付年金终值计算公式的第二种推导方法

第二步，计算该普通年金的终值。

图3中n+1期普通年金的终值计算公式为：

第三步，将该普通年金的终值调整为预付年金的终值。

图3中n+1期普通年金的终值与图1中n期预付年金的终值有共同的终点，即n这个时点。但两者A的个数不同，图3中n+1期普通年金比图1中n期预付年金多了一个A，且多出的这个A正好是第一步假设第n期期末存在的那个A。因此，图1中n期预付年金的终值就是图3中n+1期普通年金终值减去第n期期末假设存在的那个A。即：

该公式即为图1中预付年金终值的计算公式。

（三）预付年金现值计算公式的推导

1、第一种推导方法

第一步，将预付年金调整为普通年金。

求图1中预付年金的现值，首先把预付年金调整为普通年金。采用第一种调整方法，即确保调整之后的普通年金中等额款项的个数也是n。假设在第一期前还有一期，如图4所示。图4中大括号所包含的就是n期的普通年金。      

       ?A         A         A                          A



   -1       0         1          2                          n-1        n

图4  预付年金现值计算公式的第一种推导方法

第二步，计算该普通年金的现值。

图4中n期普通年金的现值计算公式为：

第三步，将该普通年金的现值调整为预付年金的现值。

图4中普通年金的现值是n个A在-1这个时点的现值的和，要求的预付年金的现值是n个A在0这个时点的现值的和。也就是说，在从-1到0这一期中，我们知道n个A在-1这一时点的价值，要求n个A在0这一时点的价值。因此，要利用复利终值计算公式，根据期初的价值求出一期之后的期末的价值。即：

      ×（1＋i）

该公式即为图1中预付年金现值的计算公式。

2、第二种推导方法

第一步，将预付年金调整为普通年金。

求图1中预付年金的现值，首先把预付年金调整为普通年金。采用第二种调整方法，即确保调整之后的普通年金计算现值的时点与预付年金计算现值的时点相同。假设在第一期期初的A不存在，如图5所示。图5中大括号所包含的就是n－1期的普通年金。         

      ?

    A×         A          A                         A



  0          1         2                         n-1         n



图5  预付年金现值计算公式的第二种推导方法

第二步，计算该普通年金的现值。

图5中n－1期普通年金的现值计算公式为：

     

第三步，将该普通年金的现值调整为预付年金的现值。

图5中n－1期普通年金的现值与图1中n期预付年金的现值有共同的起点，即0这个时点。但两者A的个数不同，图5中n－1期普通年金比图1中n期预付年金少了一个A，且少的这个A正好是预付年金中第一期期初的A。因此，图1中n期预付年金的现值就是图5中n－1期普通年金现值加上第1期期初那个A的现值。即：

该公式即为图1中预付年金现值的计算公式。

参考文献：

[1]中国注册会计师协会.财务成本管理[M].北京：中国财政经济出版社，2018

               
作者：东叔教学