年金——先付年金,后付年金,永续年金

冀苍鸾

普通年金（ordinary annuity）又称后付年金，这是最为常见的年金表现形式。普通年金的现金流都发生在每个计息期间结束时的时间点上。接下来我们通过例题的形式，讲解一下普通年金现值和终值的求解方法。注意到例题里的普通年金有如下特点：不同时间点上发生的现金流数额是相等的。

在计算年金的时候，需要使用到的是计算器中第三行的按键，我们只要知道其中任意四个键对应的数值，就可以求得剩下一个按键对应的数值，其中：

N=期数；

I/Y=每一期的利率；

PV=现值；

FV=终值；

PMT=每一期的期间现金流。

1.计算普通年金的终值

投资者小王计划购买一款金融产品，该金融产品承诺在未来10年每年的年底支付给该投资者200元。假设年化的要求回报率为8%，计算该金融产品所提供现金流的终值。

2.计算普通年金的现值

投资者小王计划购买一款金融产品，该金融产品承诺在未来10年每年的年底支付给该投资者300元。假设年化的要求回报率为9%，计算该金融产品的现值。

3.计算起始时间在N期之后的普通年金

假设养老金基金的管理者Jim希望他所管理的养老金账户能够在未来第四年年末开始，每年年底支付20000元，连续支付25年。当前市场上未来25年的平均回报率为5%，计算这一养老金账户现在应该预备多少金额的投资准备。

4.老柳是一个临近退休的工人（明年退休），他想购买债券以补贴其退休后前几年的生活，该类债券的假设条件如下：

1）每只债券的面值为1000元，并在第四年年末将按债券面值偿付。

2）投资期间，每只债券能在每年年末支付50元的利息用于该工人的生活补贴。

3）假定合适的折现率是6%，确定该工人购买该债券的合理价格。

答案1：

因为支付发生在每年年末，所以该年金为普通年金，利用计算器输入I/Y=8；N=10；PMT=-200；PV=0；CPT→FV=2897.31。通过计算我们不难发现，如果不考虑货币的时间价值，这个为期10年的年金支付现金流的总和为10×200=2000（元）；但该年金现金流的实际终值为2879.31元。为什么这两个数值会不一样呢？其原因在于利息的计算。其中差额部分879.31元反映的就是累计利息在8%年利率下的投资结果。

答案2：因为支付发生在每年年末，所以该年金为普通年金，利用计算器输入：I/Y=9；N=10；PMT=-300；FV=0；CPT→PV=1925.30

计算结果展示了在当前的收益率水平下，投资者小王为了能在接下来10年中每年年底都获得300元回报，现在所需要投资的金额。

答案3:

首先，计算该年金在第三年年初时间点的价值PV3，利用计算器输入：

I/Y=5；N=25；PMT=-20000；FV=0；CPT→PV3=281878.89

接着，计算PV3当下的现值，利用计算器输入：

I/Y=5；N=3；PMT=0；FV=-281878.89；CPT→PV0=243497.58

此题中的数据都被当作普通年金对待。因为第一笔年金发生在第四年年末的时刻，因此我们计算出来的现值PV3。就是在第四年年初，即第三年年末t=3时间点上的普通年金现金流的现值。之后再计算当前t=0时点上现金流的现值PV0时，需要再次对PV3进行3年期限的折现。

答案4：

计算器输入：PMT=-50；N=4；I/Y=6；FV=-1000；CPT→PV=965.35

计算这类例题，我们需要注意两点：首先，考试时要看懂题目，把不熟悉的债券形式转换为我们已知的年金形式；其次，由于PMT和FV的这两笔现金流都是债券发行人支付给投资者的（现金流流出），所以两者的运算符号应该相同。鉴于此，那么PV符号同PMT就应当相反。

       先付年金（annuity due）是指第一笔现金流发生在当前时刻，随后每笔现金流也都发生在计息期期初的年金。

        两种方法，第一种是把计算器调整为BGN模式。更改计算器中关于默认年金的支付方式的设置。按下计算器中的“2nd”按键后按下“PMT”按键，再按下“2nd”与“ENTER”功能键就实现了“先付年金”与“后付年金”的转化功能。当屏幕上显示“BGN”时，意为此时计算器默认年金支付方式为先付年金方式；当屏幕上显示“END”时，意为此时计算器默认年金支付方式为后付年金方式。按下“2nd”按键后再按“ENTER”按键便能在这两个模式间任意切换。

        第二种方法，默认在END模式下计算，因为先付年金每一笔现金流比同时间段的后付年金每笔现金流提早一期发放，所以在计算最终终值时，我们只须把后付年金模式下得到的终值乘以（1+折现率）即能得到先付年金的终值。FVAB=FVAE×（1+I/Y）

1.关于先付年金的终值计算

投资者老王购买了一个金融产品，该产品将从现在开始在接下来每年年初支付200美元给投资者，总计支付5年。假定该投资品能够以5%的年利率进行投资，计算这项金融产品的终值。

2.老王在一次出差途中不慎因公受伤，现在他所在单位为其提供补偿，有两个方案供其选择，一种方案是一次支付给他1000000元补偿金，另一种方案是从今天开始起每年年初支付300000的补助金，共计补助4年。假设当前市场的折现率为6%，试问老王应该选择哪种方案？

答案2.

一：将计算器调整到“BGN”模式，输入相关数据：I/Y=6；N=4；PMT=-300000；FV=0；CPT→PVAB=1101.903.58

方法二：利用计算器默认的“END”模式进行运算，利用计算器输入：I/Y=6；N=4；PMT=-300000；FV=0；CPT→PVAE=1039531.68

调整后得到PVAB=PVAE×（1+1/Y）=1039531.68×1.06=1101903.58（元）

比较两者的计算结果。由于另一种补助方案的现值1101903.58元高于一次性补助的1000000元，所以老王会选择第二种方案。

      

        永续年金（perpetuity）是指无限期支付的年金，即一组永不完结的等额现金流序列。其现值的计算方法为



1.计算优先股的现值

假设M公司的优先股每年支付6元的股利，该优先股当前的回报率是10%，问投资者愿意以多少元每股的价格购买M公司的优先股。

2.计算不规则现金流的终值

假设投资回报率为5%，第1年现金流出3000元，第2年现金流入5000元，第3年现金流入600元，第4年现金流出1000元。计算这4年的不规则现金流在第4年年底的终值

这类题目的计算方法就是先计算每一笔现金流的终值，再将他们加总起来即可（注意要保留现金流的正负号）。

这类题目的计算方法就是先计算每一笔现金流的终值，再将他们加总起来即可（注意要保留现金流的正负号）。

计算FV1：

PV=-3000；I/Y=5；N=3；PMT=0；CPT→FY1=3472.88

计算FV2：

PV=5000；I/Y=5；N=2；PMT=0；CPT→FV2=-5512.50

计算FV3：

PV=600；I/Y=5；N=1；PMT=0；CPT→FV3=-630.00

计算FV4：

PV=-1000；I/Y=5；N=0；PMT=0；CPT→FV4=1000

加总各期现金流之和=-1669.62（元）
               
作者：庄园中的图书馆