年金现值、终值的公式推导及计算

我爱霍启刚掖

之前写过《连续复利计算公式的推导》，本来随后就是写年金这篇文章，发现关注这个话题的人不是特别多，就一直没写。直到有一天，突然有一位读者朋友后台问我一个问题：



今天把年金的相关公式推导及计算写完。

<一>什么是年金？

a.年金的概念

过去以为年金就是企业年金那种，其实养老金、房贷月供、定投基金、房租等都属于年金。

年金(普通年金)是一组在某个特定的时段内金额相等、方向相同、时间间隔相同、不间断的现金流。

例如,退休后每个月固定从社保部门领取的养老金就是一种年金,退休后从保险公司领取的养老金也是一种年金,定期定额缴纳的房屋贷款且供,、每个月进行定期定额购买基金的月投资额款、向租房者每月固定领取的租金等均可视为一种年金。年金通常用PMT（Payment amount）表示。

b.什么是期初年金？什么是期末年金？

年金的利息也具有时间价值,因此,年金终值和现值的计算通常采用复利的形式。根据等值现金流发生的时间点的不同,年金可以分为期初年金和期末年金。期初年金指在一定时期内每期期初发生系列相等的收付款项,即现金流发生在当期期初,比如生活费支出、教育费支出、房租支出等;期末年金即现金流发生在当期期末,比如房贷支出等。期初年金和期末年金并无实质性的差别,两者仅在于收付款时间不同。

c.期末年金现值的推导：

年金的现值为每年投资收益总和,它是一定时间内每期期末收付款项复利现值之和。假设年金现值为PV,每年付款额为C,年利率为r,付款时间为t年,根据复利现值计算公式可得:



期末年金现值计算举例：

例如,张先生在未来10年内每年年底获得1000元,年利率为8%,则这笔年金的现值是多少?

解:

PV =(C/r) x[1 -1/(1+r)^t]

     =(1000/0.08)x[1-1/(1+0.08)^10]
     =6 710.08(元)

d.期初年金现值的计算：

期初年金的现值等于期末年金现值的(I+r)倍,即:



期初年金现值的计算举例：

例如,张先生在未来10年内每年年初获得1000元,年利率为8%,则这笔年金的现值是多少?

解：

PV期初 =(C/r) x[1-1/(1 +r)^t]x(1+r)

           =(1000/0.08)x[1-1/(1+0.08)x(1 +0.08)

           =7 246.89(元)

e.什么是期末年金终值？

年金的终值是指一定时间内,每期期末收付的本利和,也就是将每一期的金额,按照复利计算到最后一期期末的终值的累加和。

期末年金终值公式推导：

假设,年金终值为FV,每年付款额为C,年利率为r,付款时间为t年,根据复利现值计算公式可得:

FV=C+Cx(1+r)'+Cx(1+r)^2+…+Cx(1 +r)^(t-1)
等式两边同乘以(1+r)可得:

FVx(1+r)=Cx(1+r)+Cx(1+r)²+…+Cx(1+r)^t

两式相减,可得:

FVx(1+r)-FV=Cx(1+r)^t - C

整理可得:FV=(C/r)x[(1+r)^t -1]

期末年金终值计算举例：

例如,张先生在未来10年内每年年底获得1000元,年利率为8%,则这笔年金的终值是多少?

解:FV =(C/r)x[(1+r)^t-1]

        =(1000/0.08)x[(1+0.08)^10-1]

        =14486.56(元)

e.期初年金终值的计算：

期初年金的终值等于期末年金终值的(1+r)倍,即:

FV期初=(C/r)x[(1+r)^t-1]x(1+r)

期初年金终值计算举例：

例如,张先生在未来10年内每年年初获得1000元,年利率为8%,则这笔年金的终值是多少?

解:

FV期=(C/r)x[(1+r)^t-1]x(1+r)

      =(1000/0.08)x[(1+0.08)^10-1]x(1+0.08)

      =15645.49(元)

<二>永续年金

a.什么是永续年金？

永续年金是一组在无限期内金额相等、方向相同、时间间隔相同、不间断的现金流。和普通的年金的区别在于期限，普通年金是一定时间内。

现实生活中,完全意义的永续年金形式并不多见,对于那些收付期限较长的年金,或者收付期限长到无法估计的情形,我们在计算时,可以将其近似地看作永续年金来处理。比如,某些股金、股利稳定的优先股股利、养老保险金支付、商誉等无形资产产生的收益等,都可以近似的看作永续年金问题。

b.永续年金的计算公式推导：

永续年金期末现值计算公式为:



根据等比数列求和公式：





即：                                         PV=C/r

c.永续年金的计算举例：

例如,某组织准备存入银行一笔基金,预期以后无限期地在每年年末取出利息16000元,用于支付该年度科研奖金。若存款利息率为8%,则该组织应在期初一次性存入的款项是多少?

解:这是一个永续年金期末现值的计算问题,C等于16000元,r等于8%,代入公式可得:

PV = C/r
     =16 000/0.08   

     =200 000(元)

<三>增长型年金

a.什么是增长型年金？

增长型年金是一组在某个特定的时段内方向相同、时间间隔相同、不间断、金额虽然不同但每期增长率相等的现金流。跟普通年金的差别是每期的现金流是增长的，并且增长率相等。

b.增长型年金现值的计算公式推导：

增长型年金现值的公式为:



其中,g表示每年固定增长比率。

推导如下：









结果为：







增长型年金现值计算举例：

例如,某基金会拟定一项新的教育计划,打算为某山区小学提供20年的教育补助,每年年底支付,第一年为10万元,并在以后每年增长5%,贴现率为10%,那么这项教育补助计划的现值为多少?



c.增长型年金终值的计算公式推导：

推导如下：











结果为：







<四>增长型永续年金

a.什么是增长型永续年金？

增长型永续年金是在无限期内方向相同、时间间隔相同、不间断、金额虽然不同但每期增长率相等的现金流。

b.增长型永续年金现值的推导：

增长型永续年金期末现值计算公式(r>g)为:





c.增长型永续年金现值计算举例：

例如,现有理财保险产品为增长型永续年金性质,第一年将分红3000元,并以3%的速度增长下去,年贴现率为6%,那么该产品的现值为多少?

解：

PV =C/(r-g)

     =3000/(0.06-0.03)   

     =100000(元)





作者：微信文章