《财务管理》笔记整理(八):递延年金、永续年金

poney

一、递延年金的终值与现值（不能直接查表，先变形）1、递延年金终值
支付期内的n个A在最后一个A”发生时点上的复利终值合计。



总期数5期，递延期为2期的递延年金，求终值时看成第三年末开始付款，期数3期的普通年金。虽然这是个递延年金，延期了2 期支付，但是前面也没发生任何款项支付，但是计算方式本身就是普通年金算终值。F=A*（F/A,i,3）。
2、递延年金现值（易考点）
支付期内的n个A在递延期初的复利现值合计(二次折现法)。



方法：第一步 第一笔款项发生在3时点，我们可以在第一笔款项发生的前一时点砍一刀，第二步我们先计算2时点的现值。那就是普通年金求现值P2=A*(P/A,i,3)


我们需要求的是0时点的现值，第三步现在需要把2时点的现值往前滚动2期就是0时点的现值，因为0时点和1时点、2时点都没有年金发生，所以只需要用复利现值系数计算即可：P=A*(P/A,i,3)*（P/F,i,2）总结☆☆☆
先计算支付期内的“n个A”的普通年金现值“Ax(P/A,i，n)”，也就是“n个A”在第一笔年金发生的前一个时点的现值合计，再计算“Ax(P/A,i,n)"在递延期初的复利现值，即递延年金现值=Ax(P/A，i,n)x(P/F,i，m)。

下面我们看案例：

小山羊购置一条生产线，假设利率为10%，采用第二年至第六年每年年末支付30万元的付款方式。要求:计算该方案付款方式下，支付价款的现值(相当于现在一次购买的价款)。已知5年期普通年金现值系数=3.7908,1年期复利现值系数=0.9091



首先我们再1时点这个地方砍一刀，计算出5期普通年金的现值。最后再往前滚一期复利现值。



P=A*(P/A,i,n)*(P/F,i,n)=30*(P/A,10%,5)*(P/F,10%,1)

=30*3.7908*0.9091

=103.39(万元）

3、下面我们来演练一下（小试牛刀）

1、(多选题) 有一投资机会，从第4年末开始，连续5年每年年末能收到100 万元，则该年金按10%的年利率折现的现值为(   )。

A.100x[(P/A,10%,8)- (P/A，10%，4)1

B.100x[( P/A，10%,8) - (P/A，10%，3)1

C.100x ( P/A，10%,5)x(P/F，10%,3)

D.100x(P/A，10%,5)x(P/F，10%，4)

解析：B D  看图



2、(单选题) 某公司预存一笔资金，年利率为i，从第六年开始连续10年可在每年年初支取现金200万元，则预存金额的计算正确的是()。

A.200x (P/A ,i,10 )x(P/F，i，5)

B.200x(P/A,i,10 )x[(P/F,i, 4 ) +1]

C.200x(P/A ,i,10 )x(P/F,i,4)

D.200x(P/A ,i，10)x[(P/F,i，5) - 1]

解析：每年年初是重点，第六年年初就是第5年年末，从第四年切一刀，求10年普年金现值，然后往前滚动4期，答案选C



3、(单选题) 某年金在前2年无现金流入，从第三年开始连续5年每年年初现金流入300万元，则该年金按10%的年利率折现的现值为()万元。

A.300x(P/A，10%,5)x(P/F，10%,1)

B.300x (P/A，10%,5)x(P/F，10%，2)

C.300x(P/F，10%,5)x(P/A，10%,1)

D.300x(P/F,10%,5)x(P/A ，10%,2)

解析：这个就不画图了，第3年的年初就是第2年的年末2时点有300万流入，那就在1时点切一刀，然后往前滚一期复利现值。排除C D,  选A
二、永续年金的终值和现值
当普通年金的收付次数为无穷大时即为永续年金，永续年金的第一次等额收付发生在第一期期末。

1. 永续年金终值:（永续是没有尽头的，哪里有终值，过掉这个）

F = Ax[(1 +i)n- 1]/i

永续年金n →∞ ，永续年金终值F=∞。

2.永续年金现值 :“无穷多个A”在第一个“A”发生的前一个时点上的复利现值合计。



举个例子来理解下这个：叨叨姐买彩票中大奖1个亿，根本花不完，存进银行，银行每年给叨叨姐3%的利息，相当于1个亿的本金在0时点存进银行，银行每年年末给300万的利息，如果本金保持不变，那叨叨姐能拿多少年的利息呢（只要地球不爆炸，银行不放假、利息永远不停下）

现在倒过来看如果银行每年给叨叨姐300万的利息，年利息3%，能求出现值吗？



所以请记住永续年金现值=A/i

下面我们看案例：

某年金的收付形式为从第 1期期初开始，每期支付100元，一直到永远。假设利率为 10%，其现值为多少?


这好像不是永续年金，因为永续年金的第一次等额收付发生在第一期期末。如果时点没有这个100的话，那就是永续年金，我们可以先把0时点的这个100盖起来，假装看不见，那就可以计算出0时点的永续年金现值，然后再把盖起来的100加上。P=A/i+100=100/10%+100=1100元
3、下面我们来演练一下（小试牛刀）

1、某项永久性扶贫基金拟在每年年初发放80万元扶贫款，年利率为4%，则该基金需要在第一年年初投入的资金数额(取整数)为(  )万元。

A.1 923

B.2 003

C.2 080

D.2 000

解析：这个跟上一道例题一样的形式，把0时点的80万先盖起来，就是永续年金求现值P=80/4%+80=2080万元



2、(判断题)永续年金由于收付款的次数无穷多，所以其现值无穷大。(  )

解析：P=A/i,不是无穷大，所以错误

截止到现在我们所有的年金（货币时间价值）基本都讲完了，小伙伴们，晕不晕、反正我是清醒中夹带迷糊！

最后我们年金的例题中结束这个货币时间价值的计算

2023年年初，某公司购置一条生产线，有以下四种方案。哪种方案更划算

方案一:2025年年初一次性支付100万元。

方案二:2023年至2025年每年年初支付30万元。

方案三:2024年至2027年每年年初支付24万元。

方案四:2025年至2029年每年年初支付21万元。



解析:根据这个年金系数表，给的都是现值系数 我们应该把四种方案都折算成2023年年初的现值来比较。

方案一：



单一款项，复利现值P=100*(P/F,10%,2)=100*0.8264=82.64万元。

方案二：



预付年金，P=A*(P/A,10%,3)*(1+10%)=30*2.4869*1.1=82.07万元

方案三：



普通年金，P=A*(P/A,10%,4)=24*3.1699=76.08万元

方案四：



递延年金，P=A*(P/A,10%,5)*(P/F,10%,1)=21*3.7908*0.9091=72.37万元

所以方案四现值最小，最划算！

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