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从一道清华真题出发
——年金现值比较的深层数学结构
一道看似简单的比较题，背后隐藏着优美的数学结构。本文从比例猜测出发，逐步揭示年金现值系数的核心性质，最终得出一般化结论。
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一、问题的发现
1.1 原题回顾
【2021-清华】 X投资提供4年期，3000美元/年的支付；Y投资提供3年期，4000美元/年的支付。X、Y第1次支付都在第1年年末。若贴现率为6%，则哪项现值较高？若贴现率为8%，则哪项现值较高？
A. X, X B. X, Y C. Y, X D. Y, Y
1.2 直接计算
普通年金现值公式为：
PV = C × PVIFA(r,n) = C × [1-(1+r)⁻ⁿ] / r
其中 PVIFA(r,n) 为年金现值系数（Present Value Interest Factor of Annuity）。
贴现率
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PVIFA(r,4)
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PVIFA(r,3)
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PVₓ
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PVᵧ
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较高者
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6%
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3.4651
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2.6730
|
10,395
|
10,692
|
Y
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8%
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3.3121
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2.5771
|
9,936
|
10,308
|
Y
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答案是 D。
但问题来了：为什么无论6%还是8%，Y都占优？是否存在某个利率使两者相等？
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二、比例的直觉
仔细观察题目中的数字，我们发现一组有趣的比例关系：
比较项
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X
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Y
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比值
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每期支付
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3000
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4000
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3 : 4
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期限
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4年
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3年
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4 : 3
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总支付
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12,000
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12,000
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1 : 1
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关键发现：C₁ : C₂ = n₂ : n₁，即 n₁C₁ = n₂C₂（总现金流相等）！
这个条件是否决定了Y必然占优？让我们严格证明。
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三、临界贴现率的求解
3.1 问题的数学形式化
设临界贴现率为 r*，使得 PVₓ = PVᵧ：
C₁ × PVIFA(r*, n₁) = C₂ × PVIFA(r*, n₂)
整理得：
PVIFA(r*, n₁) / PVIFA(r*, n₂) = C₂ / C₁ = 4/3
3.2 代数求解
设 x = (1+r*)⁻¹ ∈ (0,1]，将年金现值系数展开：
(1-x⁴) / (1-x³) = 4/3
交叉相乘并整理：
3(1-x⁴) = 4(1-x³)
3 - 3x⁴ = 4 - 4x³
4x³ - 3x⁴ = 1
x³(4 - 3x) = 1
3.3 方程分析
设 f(x) = x³(4-3x) = 4x³ - 3x⁴
求导：f'(x) = 12x² - 12x³ = 12x²(1-x) > 0，在 (0,1) 上严格单调递增。
边界值：f(0) = 0，f(1) = 4 - 3 = 1 ✓
因此，唯一解是 x = 1，对应 r* = 0。
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四、PVIFA函数的深层性质
4.1 极限分析
利用洛必达法则或泰勒展开：
lim(r→0) PVIFA(r, n) = lim(r→0) [1-(1+r)⁻ⁿ] / r = n
因此当 r → 0 时：
PVIFA(r, n₁) / PVIFA(r, n₂) → n₁ / n₂
4.2 比例巧合的本质
题目设定 C₂/C₁ = 4/3 = n₁/n₂，恰好等于PVIFA比值在 r=0 处的极限！
这意味着：只有当货币时间价值为零时，两个年金的现值才相等。
4.3 核心定理
定理：设 g(r) = PVIFA(r, n₁)/PVIFA(r, n₂)，当 n₁ > n₂ 时，g(r) 关于 r 严格单调递减。
证明思路：长期限年金的久期更长，对利率变化更敏感。利率上升时，远期现金流折现损失更大，导致长期限年金现值下降更快。
因此对于 r > 0：
PVIFA(r, n₁) / PVIFA(r, n₂) < n₁/n₂ = C₂/C₁
⟹ C₁ × PVIFA(r, n₁) < C₂ × PVIFA(r, n₂)
⟹ PVₓ < PVᵧ 对一切 r > 0
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五、一般化结论
对于两个普通年金 X(n₁, C₁) 和 Y(n₂, C₂)，设 n₁ > n₂（X期限更长）：
条件
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临界贴现率 r*
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结论
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n₁C₁ = n₂C₂
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r* = 0
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任意 r>0：PVᵧ > PVₓ（短期限总是占优）
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n₁C₁ > n₂C₂
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r* > 0
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r < r* 时 PVₓ > PVᵧ；r > r* 时 PVᵧ > PVₓ
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n₁C₁ < n₂C₂
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不存在正的 r*
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任意 r>0：PVᵧ > PVₓ
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直观理解：
• 总支付相等时：短期限年金将现金流「前置」，在任何正利率下都更有价值
• 长期限总支付更多时：存在一个临界利率，低于它时长期限年金占优（总量优势主导），高于它时短期限年金占优（时间优势主导）
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六、n倍关系的优美结构
6.1 因式分解的魔力
当 n₁ = k·n₂（期限为整数倍关系）时，利用恒等式：
1-xᵏⁿ² = (1-xⁿ²)(1 + xⁿ² + x²ⁿ² + ⋯ + x⁽ᵏ⁻¹⁾ⁿ²)
年金现值系数之比简化为等比级数：
PVIFA(r, n₁) / PVIFA(r, n₂) = 1 + xⁿ² + x²ⁿ² + ⋯ + x⁽ᵏ⁻¹⁾ⁿ²
6.2 总支付相等的特殊情形
若 n₁C₁ = n₂C₂，则 C₂/C₁ = n₁/n₂ = k。临界条件变为：
1 + xⁿ² + x²ⁿ² + ⋯ + x⁽ᵏ⁻¹⁾ⁿ² = k
设 y = xⁿ²，需要解：1 + y + y² + ⋯ + yᵏ⁻¹ = k
由于 f(y) = 1 + y + ⋯ + yᵏ⁻¹ 在 (0,1) 上每项都小于1，在 y=1 处恰好等于 k，唯一解是 y=1，即 r* = 0。
6.3 具体验证
例1：k=2（10年 vs 5年）
• X年金：10年期，5000元/年
• Y年金：5年期，10000元/年
• 方程：1 + x⁵ = 2 ⟹ x = 1 ⟹ r* = 0
贴现率
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PVₓ
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PVᵧ
|
较高者
|
0%
|
50,000
|
50,000
|
相等
|
5%
|
38,609
|
43,295
|
Y
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10%
|
30,723
|
37,908
|
Y
|
例2：k=3（15年 vs 5年）
• X年金：15年期，2000元/年
• Y年金：5年期，6000元/年
• 方程：1 + y + y² = 3 ⟹ y = 1 ⟹ r* = 0
贴现率
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PVₓ
|
PVᵧ
|
较高者
|
0%
|
30,000
|
30,000
|
相等
|
5%
|
20,757
|
25,977
|
Y
|
10%
|
15,212
|
22,745
|
Y
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七、久期视角
7.1 麦考利久期
麦考利久期（Macaulay Duration）衡量现金流的加权平均到期时间，对于普通年金：
D = (1+r)/r - n/[(1+r)ⁿ - 1]
7.2 久期与利率敏感性
久期越长，现值对利率变化越敏感：
dPV/PV ≈ -D × dr/(1+r)
7.3 数值对比
当 r = 5% 时：
年金类型
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期限 n
|
久期 D
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相对优势变化
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Y（基准）
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5年
|
2.90年
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—
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X（k=2）
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10年
|
4.70年
|
每1%利率上升，多损失约1.8%
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X（k=3）
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15年
|
6.14年
|
每1%利率上升，多损失约3.2%
|
洞察：k 越大（期限差距越大），长期限年金的久期越长，在正利率下的劣势越明显。
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八、存在正临界利率的情形
8.1 构造条件
当 n₁C₁ > n₂C₂ 时，长期限年金具有「总量优势」，存在正的临界贴现率。
8.2 典型例子
设定：
• X年金：8年期，1500元/年，总支付 = 12,000
• Y年金：4年期，2500元/年，总支付 = 10,000
由于 n₁ = 2n₂，方程简化为：
1 + x⁴ = C₂/C₁ = 5/3
x⁴ = 2/3 ⟹ x = (2/3)^(1/4)
r* = (3/2)^(1/4) - 1 ≈ 10.67%
8.3 验证
贴现率
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PVₓ
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PVᵧ
|
较高者
|
解释
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5%
|
9,695
|
8,865
|
X
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低利率，总量优势主导
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10.67%
|
7,808
|
7,808
|
相等
|
临界点
|
15%
|
6,731
|
7,138
|
Y
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高利率，时间优势主导
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九、总结
9.1 核心结论
年金现值比较定理n₁C₁ = n₂C₂ ⟹ ∀r > 0: PVᵧ > PVₓ
9.2 直观表述
当两个年金的总现金流相等时，短期限年金在任何正利率下都更有价值。原因在于：短期限年金将相同的现金流「前置」，在货币具有时间价值的世界里，早拿到的钱总是更值钱。
9.3 临界利率公式
当 n₁ = k·n₂ 时，临界利率可由下式确定：
1 + xⁿ² + x²ⁿ² + ⋯ + x⁽ᵏ⁻¹⁾ⁿ² = C₂/C₁
其中 x = (1+r*)⁻¹。
9.4 回到原题
清华这道题的设计非常精妙：
• 总支付相等（12,000 = 12,000）
• 因此临界利率为零
• 无论选6%还是8%（甚至任何正利率），Y都必然占优
• 答案只能是 D
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本文从一道真题出发，通过
比例直觉 → 代数推导 → 函数分析 → 久期解释
的层层递进，揭示了年金现值比较问题的完整数学结构。
— END —
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