年金的计算 超简单版本(2)

墙和鸡蛋

考点回顾：（递延年金的概念与形式）

     递延年金由普通年金递延形成，递延的期数称为递延期，用 m表示（ m为大于 0的整数）。递延年金的第一次收付发生在第（ m+1）期 期末。

      递延年金的形式如下图：



递延年金终值的计算

递延年金的终值 =A×（ F/A， i， n）， 只与年金期有关，与递延期无关。

   注意：求递延年金的终值即 求m+n点的值，完全可以把它当成求普通年金的终值来计算，是完全一样的公式和思路！！！

递延年金现值的计算

递延年金的现值， 与递延期有关。（关键是递延期的确定，要学会画草图）

结论牢记：

1.简单来说，递延期就是年初和年末均没有年金的期间！！！

2.确定递延期时，若题中给了期初，要换算成期末，因为递延年金就是发生在期末的！！！（例如：第四期期初=第三期期末，这样，第三期也是有年金的，第三期不属于递延期。懂吧？！）

3.求递延年金的现值即 求0时点处的值。

4.递延年金的现值与递延期有关，并且递延期越短，递延年金现值越大。（看后面的例题1和例题2的对比，你就可以看出来的。）

5.有两种计算方法:分段折现法、减法。







例题1

   某递延年金为从第 4期开始， 每期期末支付 10万元，共计支付 6次，假设利率为 4%，相当于现在一次性支付的金额是多少？

（ P/A， 4%， 6） =5.2421，

（ P/F， 4%， 3） =0.8890，

（ P/A， 4%， 9） =7.4353，

（ P/A， 4%， 3） =2.7751。



从图上可看出，递延期 m=3，年金 A=10万元， n=6。

第一种方法分段折现：

   将 6个 10万元按普通年金求现值的方法折算到第 3期期末，再将 6年期的普通年金现值由按复利现值的方法折算到第 0年。

   递延年金现值 P=10×（ P/A， 4%， 6）×（ P/F， 4%， 3） =10× 5.2421× 0.8890=46.60（万元）

第二种方法用减法：

   假设递延期每期期末也都有年金 10万元，这样在 0时点看就构成了普通年金的形式，一共有 9个 10万元，可将这 9个 10万元求普通年金的现值，然后再减去递延期 3个 10万元的普通年金现值，就可求出本题递延年金的现值。即：



   递延年金现值 P=10×（ P/A， 4%， 9） -10×（ P/A， 4%， 3） =10× 7.4353-10× 2.7751=46.602（万元）

例题2

   某递延年金为从第 4期开始， 每期期初支付 10万元，共计支付 6次，假设利率为 4%，相当于现在一次性支付的金额是多少？

（ P/F， 4%， 2） =0.9246，（ P/A， 4%， 6） =5.2421。

   注意：题中说的是第四期期初，要换算成第三期期末，即第三期期末是有年金A的出现，第三期不是递延期，所以题中的递延期为m=2。



从图上可看出，递延期 m=2，年金 A=10万元， n=6。

方法1：分段折现法：

递延年金现值 P=10×（ P/A， 4%， 6）×（ P/F， 4%， 2） =10× 5.2421× 0.9246=48.47（万元）

方法2：减法：

递延年金现值 P=10×（ P/A， 4%， 8） -10×（ P/A， 4%， 2） =48.47（万元）

通过例题1和例题2，可以知道一个结论：

递延期越短，递延年金现值越大。

例题1的递延期为3，递延年金现值为46.60万元；

例题2的递延期为2，递延年金现值为48.47万元。

例题3

DL 公司 2019年 12月 10日欲购置一批电脑，销售方提出三种付款方案，具体如下：

方案 1：

  2019 年 12月 10日付款 10万元，从 2021年开始，每年 12月 10日付款 28万元，连续支付 5次。

方案 2：

  2019 年 12月 10日付款 5万元，从 2020年开始，每年 12月 10日付款 25万元，连续支付 6次。

方案 3：

  2019 年 12月 10日付款 10万元，从 2020年开始，每年 6月 10日和 12月 10日付款，每次支付 15万元，连续支付 8次。假设 A公司的投资收益率为 10%， A公司应该选择哪个方案？

本题有关系数如下表：



【本题思路】:要比较哪个方案好，就要看哪个方案花的钱少，而要看哪个方案花的钱少，就要把钱放在同一个时点去进行比较，因为随着时间的推移，每个时点的货币时间价值都是不一样的！

  本题要通过画图来分析决策。

（ 1）方案 1：



很明显看到，图中显示的是递延年金的现值计算!求0时点处的价值。

方案 1付款的现值 =10+28×（ P/A， 10%， 5）×（ P/F， 10%， 1） =10+28× 3.7908× 0.9091=106.49（万元）

（ 2）方案 2：



注意：对比方案1，方案2的图。

可以看到，方案1是站在1时点往后看，求1时点的普通年金现值，1时点没有年金出现；

而方案2是站在0时点往后看，求0时点的普通年金现值，0时点处有年金出现。

所以结论是，求普通年金现值是，站在后面都是相同年金的前一时点往后看，不管所站的地方有年金还是没有年金，都没关系，通通看成是求普通年金现值，有年金就加上，无年金就不用加上去！！懂了吧？那么仔细的解释。

方案 2付款的现值 =5+25 × （ P/A， 10%， 6） =5+25× 4.3553=113.88（万元）

（ 3）方案 3：



从图上可看出，从 2020年开始每半年付款一次，间隔期是半年，半年的利率是 10%/2=5% 连续付了 8次。属于普通年金的形式。

方案 3付款的现值 =10+15×（ P/A， 5%， 8） =10+15× 6.4632=106.95（万元）

注意：这里的利率为5%。



永续年金现值的计算

知识点回顾：

  永续年金 是普通年金的极限形式，当普通年金的 收付次数为无穷大时即为永续年金。永续年金的第一次等额收付发生在第一期期末。永续年金的现值可以看作是一个 n无穷大时普通年金的现值。其计算公式为：



如果 n为无穷大，（ 1+i） -n 趋近于 0（可以小到忽略不计），所以 永续年金现值P=A/i。

例题1

  某年金的收付形式为从第 1期期初开始，每期支付 80元，一直到永远，假设利率为 5%，其现值为多少？（注意永续年金发生在期末，题中说第1期期初，即换算成第0期期末。）

【分析】本题图形如下：



站在0时点往后看，明显是求普通年金的现值，只不过用的公式是P=A/i。

并且注意，0时点这里有年金，要加上去！！！

现值 =80+80/5%=1680（元）

或者可以将期限从 0时点向前延长 1期，如下图：



注意牢记：求的是0时点处的值。

      从上图可看出，站在 -1时点上，该年金就是永续年金，并且明显是求普通年金的现值，只不过用的公式是P=A/i。

-1 时点上的现值 =80/5%=1600（元），再将这 1600元折到 0时点。

0 时点上的现值 =1600×（ 1+5%） =1680（元）

      阿媛：靠近光 追随光 成为光 发散光。2020.10.05

               
作者：始钟儒依